Завдання І туру Всеукраїнської олімпіади з математики

5 клас.

1.Багатий дядечко подарував Юркові 10 доларів у його перший день народження. У кожний наступний день народження він подвоював суму подарунка в порівнянні з попереднім. Скільки доларів, подарованих дядечком, має Юрко всього після восьмого дня народження?

2. З металевої заготовки виточують деталь. Стружки, що виходять при виточуванні 8 деталей, можна переплавити в 1 заготовку. Скільки деталей можна зробити з 64 заготовок?

3. Яке найменше число однакових сірників треба взяти , щоб утворити рівно три однакових квадрати? (проілюструй відповідь малюнком)

4. У скільки раз кілометр довше міліметра?

5. Якщо кожному із своїх друзів Сергій дасть 4 персика, то в нього залишиться 2 персика; якщо кожному він стане давати по 5 персиків, то не вистачить одного персика. Скільки друзів у Сергія і скільки персиків було у нього?

6 клас

 1. З 220 учнів 163 грають у шахи, 175 – у футбол, 22 учня не грають у ці ігри. Скільки учнів одночасно грає в шахи і в футбол?

   2. На скільки відсотків збільшиться площа квадрата, якщо його периметр збільшити на10%?

 3. Використовуючи тільки арифметичні дії, подайте число 100 п’ятьма однаковими цифрами.

 4.Садівник посадив у ряд 8 дерев на відстані 5 метрів один від одного. Поруч з першим деревом розташована криниця. Для поливання двох дерев потрібно одне відро води. Який найменший шлях треба подолати садівнику, щоб полити усі дерева?

 5. Скільки секунд містить чверть доби?

7 клас

1. Дід і баба разом випивають діжечку квасу за 10 діб, а  один дід таку ж діжечку квасу випиває за 15 діб. За скільки діб вип'є таку  ж діжечку квасу тільки баба?

2.На одній з двох паралельних прямих узяті три точки, а на другій п’ять точок. Скільки трикутників з вершинами у цих точках можна побудувати?

 3. Яка найбільша кількість куль  радіусом 1 см поміститься у кубічну коробку з ребром 4 см?

4. 11.На столі лежать три однакові ящики. В одному з них лежить дві чорні кульки, у другому – чорна і біла, у третьому – дві білі. На ящиках зроблено підписи: "Дві білі", "Дві чорні", "Чорна і біла". Відомо, що ні один із підписів не відповідає дійсності. Як, вийнявши тільки одну кульку, визначити, де лежать які кульки.

5.Ліспромгосп вирішив вирубати сосновий ліс, але екологи рішуче виступили проти цього. Тоді директор ліспромгоспу всіх заспокоїв, сказавши: «У вашому лісі 99% сосен. Ми будемо рубати тільки їх, причому після рубки сосен залишиться 98% від всіх дерев». Яку частину лісу має намір вирубати ліспромгосп?

8 клас

1.Дмитрик ішов з дому до магазину зі швидкістю 6 км/год, а назад повертався тією самою дорогою, але зі швидкістю 4 км/год. Знайти середню швидкість Дмитрика протягом всього  походу з дому до магазину і назад.

2.У прямокутнику АВСД бісектриса  кута А ділить протилежну сторону на відрізки 5см і 7 см. Знайти його периметр та площу. Скільки розв’язків має задача?

3.Обчислити , якщо .

4.У мішку лежать 5 білих, 5 чорних кульок та 5 червоних. Яку найменшу кількість кульок треба взяти із мішка, щоб серед них точно виявилося 3 кульки різного кольору?

5. Двоцифрове число в сумі з числом, записаним тими самими цифрами, але в зворотному порядку, дає квадрат натурального числа. Знайдіть всі такі двоцифрові числа.

 

9 клас

1 Довести, що площа чотирикутника, вершинами якого є середини сторін даного опуклого чотирикутника, дорівнює половині його площі.

2 Розкласти на множники: (x-y)(x+y)+4x-6y-5

3.На острові живуть лише лицарі (які завжди говорять правду) і брехуни (які завжди брешуть). Троє з них зробили по дві заяви. Перший сказав: «На острові живе не більше трьох людей», «Усі жителі острова – брехуни». Другий сказав: «На острові живе не більше чотирьох людей», «Не всі жителі острова – брехуни». Третій сказав: «На острові живе п’ятеро людей», «На острові не менше трьох брехунів». Скільки людей живе на острові і скільки серед них брехунів?

4.Побудувати графік функції:  .

5.Розв’язати рівняння:  .

10 клас

 1.Розв’язати рівняння: 

2.Три натуральні числа утворюють геометричну прогресію. Знайти ці числа, якщо їх сума дорівнює 31.

3.Учневі надіслали завдання, яке містить 20 задач. За кожну правильно розв’язану задачу йому нараховують 8 балів, за кожну неправильно розв’язану задачу віднімають 5 балів. За задачу, яку він не брався розв’язувати – 0 балів. Учень одержав у сумі 13 балів. Скільки задач він брався розв’язувати?

4.Дано коло, АВ – хорда кола, l – його дотична, що дотикається до кола в точці С. Відстані від точок А і В до прямої l відповідно дорівнюють 6 і 8. Знайти відстань від точки С до прямої АВ.

5.Є 2012 камінців. За один хід можна взяти 1 або 3 камінця. Хто виграє з двох гравців, якщо виграє той, хто бере останній камінець?

11 клас

1. Порівняйте два числа:

 та .

 2.Мишко, Віталик та Олег вирішили купити одну книжку. Мишкові не вистачило на покупку 15 грн., Віталікові 37 грн., а Олегові – 26 грн. Склавши гроші (а вони були у кожного з хлопців), юнаки виявили, що навіть отриманої суми не вистачає на покупку книжки. Скільки коштує книжка , якщо її вартість виражається цілим числом гривень?

3.Побудувати графік функції у= arcsin(sinx)

4. На папері у клітинку виділено квадрат 2013х2013. Два гравці по черзі зафарбовують у жовтий колір одиничні відрізки, які є межами одиничних квадратів, що розташовані всередині чи на межі виділеного квадрату та ще не були зафарбовані. Перемагає той гравець, після ходу якого вперше з’являється одинична клітинка, усі чотири сторони якої зафарбовані у жовтий колір. Хто перемагає у цій грі при правильній грі обох – той, хто починає чи той, хто ходить другим?.

5.У трикутнику дві медіани взаємно перпендикулярні і дорівнюють 18 см і 24 см. Знайти площу цього трикутника.